Son iki yüz yılın, bilimin pek çok alanındaki olağanüstü ilerlemelerine şahitlik ettiğini kuşkusuz kimse inkar edemez. Özellikle fizikte, 19. yüzyıl sonlarının aydınları tam teorikteki her şeyin ortaya konduğunu ilan ettikleri sırada; Einstein bizlere uzay ve zamanın geçmiş dünya görüşümüze göre kıyaslandığında son derece bilinmedik olduğunu gösterdi; Heisenberg de atomla ilgili olarak en temel neden-sonuç kavramlarımızın bile çöktüğüne işaret etti. Şaşkınlığımızı üzerimizden atar atmaz, kara delikler ve kuantum dolanıklık teorisinin açığa çıkması gibi ileri fiziğin keşfi ile gelecek yüzyıllar boyunca merak duygumuzu körükleyecek yüzlerce farklı gizemle ödüllendirildik. Benzer listeler diğer alanlardaki buluşlar için de yapılabilir. Kozmoloji bize genişleyen evreni, karanlık maddeyi ve sayıları sonsuza giden milyarlarca galaksinin hayretler uyandıran manzarasından bahsetti. Kimya periyodik cetveli kullanarak dünyayı açıklarken plastik maddeyi ve mucizevi bir ilaç bolluğunu da sundu.

 

Matematikse, yaşamımızı son 50 yılda bambaşka bir platforma aktaran bilgisayarı, dolayısıyla akıllı cihazları ve interneti sundu. Eskiler “matematiği iyi olanın bütün dersleri iyi olur” derlerdi, pek de yanılmış sayılmazlar aslında. Karmaşık işlemleri büyük hızlarda yapabilen bu işlemciler sayesinde yüksek güvenilirlikteki seyahat araçlarımıza kavuşmuş, dünyanın diğer ucundaki rezervasyon işlemlerini kolaylaştırmış, görüntü, ses ve ticari ilişkilerimizi arttırmış durumdayız.

 

Tüm bu donanım Apollo 11 ile Ay’a adım atmaya, cerrahi ve farmakoloji alanlarında gerçekleşen devrimlerle, gelişmiş ülkelerdeki insan ömrünü sadece dört beş nesil içerisinde iki kat artmasına yardımcı oldu. Daha güçlü ve büyük mimarilerin - köprülerin hesaplanmasına da yardım etti. Örneğin bugün boğaz köprüsünden her geçişte hissettiğimiz güven ve ilerledikçe aracımıza tık tık diye hafifçe bir yunuslama yaptıran aslında integralin ta kendisi. İşte tüm bu matematik içerisinde işlemi yapılan fonksiyonların örnekleme ve analizde kullanılan bir hesaplama yönteminden bahsedeceğiz bu yazımızda; yani Fourier’den.

Fourier Dönüşümü bilimsel literatürde zaman domaini (dt) bazındaki fonksiyonların frekans domaini (dw) bazındaki fonksiyonlara dönüşmesini sağlayan bir integral transformasyonu.

Fourier’i ilk defa duyanlar ya da “üniversitede çok çektirmişti” diyenler için matematiksel dönüşüm örnekleri ile değil hayatımızdaki “gizli özne” kısmıyla ilgileneceğiz.

 

Örneğin sabah işe giderken servisi kaçırdığımızı ve toplu taşıma ile devam edeceğimizi düşünelim. Bulunduğumuz nokta ile iş yeri arasındaki mesafeyi izafi bir şekilde aklımızda rotalarken hangi toplu taşımanın daha hızlı veya aktarma sayısına bağlı olarak daha ucuz olduğunu düşündüğümüz an aslında bir yandan da yolu daha küçük ve ulaşılması kolay hedef parçalarına ayırmış oluyoruz.

Bir vektörü nasıl bileşenlerine ayırıp birim x, y ve z koordinatlarının toplamı şeklinde yazabiliyorsak, aynı şeyi dalgalar/sinyaller için yapmamıza yarar Fourier Dönüşümü. Herhangi bir dalgayı bileşenlerine ayırıp farklı frekanstaki sinüs fonksiyonlarının toplamı şeklinde gösterebilmemize olanak verir.

 

Fransız matematikçi ve fizikçi Jean Baptiste Joseph Fourier tarihteki bazı bilimciler kadar meşhur değildir, ama çalışmaları fotoğraftan deprem analizine kadar çeşitli alanlarda uygulanma olanağı bulmuştur. Napolyon’un Mısır gezisine eşlik etmekle ödüllendirildikten kısa bir sonra Fransa’ya dönüp ısı nakli üzerinde çalışmalarına devam ederek kendi adını verdiği analizleme yönteminin de temellerini oluşturdu.

Nesnelerde ısı akımıyla ilgili bazı sorunlarla ilgilenirken, aklına karmaşık yollarla değişen nicelikleri, dalgalardan oluşan çok basit bileşenlere ayırma fikri geldi.

İlk olarak metal çubuk veya levhadaki ısı denklemlerinin çözümü için kullanmıştır. Isı denklemi diferansiyel bir denklemdir ve çözümü zordur. Fourier bu denklemi basitleştirerek sinüs ve kosinüsleri katsayılarla birbirine ekleyerek karmaşık bir ısı kaynağı oluşturmak hedefindeydi. Bu denklemlerin belli katsayılarla sonsuz toplamına da Fourier Serisi denilmektedir.

Ancak J. Fourier bu teoremi ısı denklemlerine uyguladıktan sonra görülmüş ki teorem, daha geniş periyodik fonksiyonlara uygulanabilmekte.

Daniel Bernoulli de bu teoremi daha da geliştirerek Fourier serilerinin modern halini almasını sağlamıştır. Evet tahmin ettiğiniz gibi sektörümüzde de adıyla bolca karşılaştığımız akışkanların hız ve basıncı arasındaki teoremi oluşturan Bernoulli’den bahsediyoruz.

Fourier serisi elektrik ve elektronik mühendisliğinin yanında makine mühendisliğinde, haberleşme alanında, titreşim analizinde, akustiklerde, sinyal işlemesinde, tıpta ve hatta fizikte kuantum mekaniği gibi geniş bir bilim-teknoloji yelpazesinde kullanılmaktadır. “Fourier analizi” dediğimiz analiz uzay veya zamanda her ikisinde de değişen nicelikleri, sinüs ve kosinüs bileşimlerine ayırarak, zor problemlerin çözülmesine katkıda bulundu.

Biyolojideki moleküllerin yapısını X-ışını kırınımını kullanarak bulmamızı sağladı.

Ayrıca dijital fotoğrafta görüntü verilerini sıkıştırmak, belli kapasitedeki bir kartın üzerine daha fazla görüntü depolamak mümkün oldu.

Eski ya da hasarlı ses kayıtlarını silmemize ve daha büyük çapta, deprem verilerini analiz etmemize olanak tanıdı.

Her insanın sesi de parmak izi gibidir Eğer sesimizin sinyalini örnekler, örnekleri işler, her kişinin sesine ait özelliklerini (sinüs ve kosinüslerin genliklerinin frekans fazını) kaydedersek; sesimizle ilgili işlemlerde yerimize birisi konuşursa doğru kişi olup olmadığı kanıtlanabilir.

Referanslar;

Prof Dr. lan Stewart, Warwick - Professor Stewart’s Cabinet of Mathematical Curiositie